Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有極值．
（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若l＜m＜n＜e，證明

m

n

＜

n

m

；
（Ⅲ）函數(shù)g(x)=

x

3

-x-2，證明：?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=ax+lnx求導(dǎo)，再由f（x）有極值知f′（x）=0解，且在兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)相異求解．
（Ⅱ）要證

m

n

＜

n

m

，即證nlnm＜mlnn，即證

lnm

m

＜

lnn

n

，構(gòu)造函數(shù)F（x）=

lnx

x

，x∈（1，e），證明F（x）在（1，e）上為增函數(shù)，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）由?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）f（x₁）即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分別求得兩函數(shù)的值域即可．

解答：（I）解：由f（x）=ax+lnx求導(dǎo)可得：f′（x）=a+

1

x

．
令f′（x）=a+

1

x

=0，可得a=-

1

x

∵x∈（1，e），∴-

1

x

∈（-1，-

1

e

），∴a∈（-1，-

1

e

）
又x∈（1，e）時(shí)

∴f（x）有極值時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，-

1

e

）；
（Ⅱ）要證

m

n

＜

n

m

，即證nlnm＜mlnn，即證

lnm

m

＜

lnn

n

令F（x）=

lnx

x

，x∈（1，e），則F′（x）=

1-lnx

x2

∴當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）在（1，e）上為增函數(shù)
∵l＜m＜n＜e，∴

lnm

m

＜

lnn

n

，
∴

m

n

＜

n

m

；
（Ⅲ）證明：由g（x）=x³-x-2求導(dǎo)可得g'（x）=3x²-1
令g'（x）=3x²-1=0，解得x=±

3

3

令g'（x）=3x²-1＞0，解得x＜-

3

3

或x＞

3

3

又∵x∈（1，e）⊆（

3

3

，+∞），∴g（x）在（1，e）上為單調(diào)遞增函數(shù)
∵g（1）=-2，g（e）=e³-e-2，∴g（x）在x∈（1，e）的值域?yàn)椋?2，e³-e-2）
∵e3-e-2＞-1+ln（-

1

a

），-2＜ae+1，-2＜a
∴（ae+1，-1+ln（-

1

a

）]⊆（-2，e3-e-2），
（a，-1+ln（-

1

a

）]⊆（-2，e3-e-2）
∴?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值等問題，考查不等式的證明，屬于中檔題．