Question

已知雙曲線的左、右焦點分別為F₁F₂，離心率e=

2

，且過（4，-

10

），
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）直線x=3與雙曲線交于M，N兩點，求證：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得e=

c

a

=

2

，從而設雙曲線的標準方程為x²-y²=a²，代入點（4，-

10

），能求出雙曲線的標準方程．
（2）由（1）得F₁（-2

3

，0），F₂（2

3

，0），M（3，

3

），N（3，-

3

），由此能證明F₁M⊥F₂M．

解答： 解：（1）∵雙曲線的左、右焦點分別為F₁F₂，
離心率e=

2

，且過（4，-

10

），
∴e=

c

a

=

2

，∴c²=2a²，∴b²=c²-a²=a²，
設雙曲線的標準方程為x²-y²=a²，
代入點（4，-

10

），得a²=16-10=6，
∴雙曲線的標準方程為x²-y²=6．…（6分）
（2）由（1）得F₁（-2

3

，0），F₂（2

3

，0），
M（3，

3

），N（3，-

3

），
∴kF1M=

3

3+2 3

，∴kF1M=

3

3-2 3

，
∴kF1M•kF1M=-1，∴F₁M⊥F₂M．…（12分）

點評：本題考查雙曲線標準方程的求法，考查兩直線垂直的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．