已知函數(shù)f(x)=
2x
2x+
2

(Ⅰ)計算f(0)+f(1)的值
(Ⅱ)試利用求等差數(shù)列前n項和的方法求f(-1)+f(-
1
2
)+f(0)+f(
1
2
)+f(1)+f(
3
2
) +f(2)的值

(Ⅲ)設a∈R,解關于x的不等式:f(x2-(a+1)x+a+
1
2
)<
1
2
分析:(I)代入化簡即可得出;
(II)利用f(1-x)+f(x)=
21-x
21-x+
2
+
2x
2x+
2
=
2
2+
2
2x
+
2x
2x+
2
=
2
2
+2x
+
2x
2x+
2
=1,即可得出;
(Ⅲ)利用f(x)=
2x
2x+
2
=1-
2
2x+
2
,可得f(x)在實數(shù)集上是單調遞增函數(shù),即可分離出來,通過分類討論即可得出.
解答:解:(Ⅰ)f(0)+f(1)=
1
1+
2
+
2
2+
2
=
1
1+
2
+
2
2
+1
=1,
(Ⅱ)∵f(1-x)+f(x)=
21-x
21-x+
2
+
2x
2x+
2
=
2
2+
2
2x
+
2x
2x+
2
=
2
2
+2x
+
2x
2x+
2
=1,
f(-1)+f(-
1
2
)+f(0)+f(
1
2
)+f(1)+f(
3
2
) +f(2)=3.5

(Ⅲ)f(x)=
2x
2x+
2
=1-
2
2x+
2
,
故f(x)在實數(shù)集上是單調遞增函數(shù),
由(Ⅰ),令x=0,得f(
1
2
)=
1
2

原不等式即為f(x2-(a+1)x+a+
1
2
)<f(
1
2
)
,
x2-(a+1)x+a+
1
2
1
2
,即(x-a)(x-1)<0
故當a<1時,不等式的解集為{x|a<x<1};
當a=1時,不等式的解集為?;
當a>1時,不等式的解集為{x|1<x<a}.
點評:熟練掌握函數(shù)的單調性、分類討論的思想方法、指數(shù)函數(shù)的運算等是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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2-xx+1
;
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(2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
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2-x-1,x≤0
x
,x>0
,則f[f(-2)]=
3
3

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3
2
)cosx-sin3x

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3
成立的x的值.

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(2)求證:f(x)在其定義域上有且只有一個零點;
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已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當x=
3
3
時,函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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