Question

如圖，已知橢圓C：，動(dòng)圓C₁：．點(diǎn)A₁，A₂分別為C的左右頂點(diǎn)，C₁與C相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（I）求直線(xiàn)AA₁與直線(xiàn)A₂B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（II）設(shè)動(dòng)圓C₂：與C0相交于A'，B'，C'，D'四點(diǎn)，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，證明：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出線(xiàn)A₁A的方程、直線(xiàn)A₂B的方程，求得交點(diǎn)滿(mǎn)足的方程，利用A在橢圓C上，化簡(jiǎn)即可得到M軛軌跡方程；
（II）根據(jù)矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，可得A，A′坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用A，A′均在橢圓上，即可證得=a²+b²為定值．
解答：（I）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵A₁（-a，0），A₂（a，0），則直線(xiàn)A₁A的方程為①
直線(xiàn)A₂B的方程為②
由①×②可得：③
∵A（x₁，y₁）在橢圓C上，
∴
∴
代入③可得：
∴；
（II）證明：設(shè)A′（x₃，y₃），
∵矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等
∴4|x₁||y₁|=4|x₃||y₃|
∴=
∵A，A′均在橢圓上，
∴=
∴=
∴
∵t₁≠t₂，∴x₁≠x₃．
∴
∵，
∴
∴=a²+b²為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查定值問(wèn)題的證明，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線(xiàn)方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于中檔題．