Question

函數(shù)f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）寫出φ及圖中x₀的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-

1

2

，

1

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象,余弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由圖觀察可知，函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，

1

2

），有

1

2

=cosφ可解得φ的值是

π

3

．由圖觀察可知，函數(shù)的圖象過點(diǎn)（x₀，

1

2

），有π×x₀+

π

3

=2π-

π

3

，可解得x₀的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f(x)=cos(πx+

π

3

)．根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求f（x）在區(qū)間[-

1

2

，

1

3

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵由圖觀察可知，函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，

1

2

），
∴

1

2

=cosφ，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴可解得φ的值是

π

3

．
∵由圖觀察可知，函數(shù)的圖象過點(diǎn)（x₀，

1

2

），
∴

1

2

=cos（π×x₀+

π

3

）
∴π×x₀+

π

3

=2π-

π

3

∴可解得x₀的值是

4

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f(x)=cos(πx+

π

3

)．
因?yàn)?span id="lkxzksl" class="MathJye">x∈[-

1

2

，

1

3

]，
所以-

π

6

≤πx+

π

3

≤

2π

3

．
所以 當(dāng)πx+

π

3

=0，即x=-

1

3

時(shí)f（x）取得最大值1； 
當(dāng)πx+

π

3

=

2π

3

，即x=

1

3

時(shí)f（x）取得最小值-

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)解析式的求法，余弦函數(shù)的定義域和值域，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．