Question

已知tanα，tanβ是一元二次方程2mx²+（4m-2）x+2m-3=0的兩個(gè)不等實(shí)根，求函數(shù)f（m）=5m²+3mtan（α+β）+4的值域．

Answer 1

分析：因?yàn)閠anα，tanβ是一元二次方程2mx²+（4m-2）x+2m-3=0的兩個(gè)不等實(shí)根，所以利用韋達(dá)定理表示出兩根之和和兩根之積，然后利用兩角和的正切函數(shù)公式化簡tan（α+β），把表示出的tanα+tanβ和tanαtanβ代入即可得到關(guān)于m的關(guān)系式，把關(guān)于m的關(guān)系式代入f（m）中，得到f（m）關(guān)于m的二次函數(shù)，然后再根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以得到根的判別式大于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍，根據(jù)自變量m的范圍即可求出f（m）的值域．

解答：解：由已知，有tanα+tanβ=

1-2m

m

，tanα•tanβ=

2m-3

2m

，
∴tan(α+β)=

2-4m

3

．
又由△＞0，知m∈(-

1

2

，0)∪(0，+∞)，
∴f(m)=5m2+3m•

2-4m

3

+4=(m+1)2+3．
∵當(dāng)m∈(-

1

2

，0)∪(0，+∞)時(shí)f（m）在兩個(gè)區(qū)間上都為單調(diào)遞增，
故所求值域?yàn)?span id="mcsqemk" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(

13

4

，4)∪(4，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和的正切函數(shù)公式及韋達(dá)定理化簡求值，會(huì)根據(jù)自變量的范圍求出二次函數(shù)相對(duì)應(yīng)的值域范圍，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道綜合題．