Question

已知實(shí)數(shù)x,y滿足 . 
（1）求的最小值和最大值； （2）求的取值范圍；     
（3）求的最小值；       （4）求最小值.

Answer 1

（1）目標(biāo)函數(shù)的最小值和最大值分別為3和12（2）（3）2（4）3

試題分析：∵實(shí)數(shù)x,y滿足，
∴作出可行域如圖所示，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)，   

（1）如圖，作直線且平移該直線，
由圖可知當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，即時(shí)，；
當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，即時(shí)， ，
∴目標(biāo)函數(shù)的最小值和最大值分別為3和12                             ……3分
（2）∵表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率， 
∴由圖知，                   
又，
∴，                 
∴的取值范圍是                                              ……6分
（3）∵表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
∴從圖中易知可行域中的點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離最小，   
∴，  
∴                                                           ……9分
（4）∵
∴表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)到直線的距離
在圖中作出直線，由圖易知可行域中的點(diǎn)B到該直線的距離最小
∴點(diǎn)B到該直線的距離
∴
∴                                                                   ……12分
點(diǎn)評(píng)：解決線性規(guī)劃問(wèn)題，關(guān)鍵是正確畫(huà)出可行域，如果目標(biāo)函數(shù)不是線性的，則需要進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，比如轉(zhuǎn)化為距離、斜率等.