Question

利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+

1

2

+

1

3

+…

1

2n-1

＜f（n）（n≥2，n∈N^*）的過程中，由n=k變到n=k+1時，左邊增加了（　　）

A．1項

B．k項

C．2^k-1項

D．2^k項

Answer 1

分析：依題意，由n=k遞推到n=k+1時，不等式左邊為1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1-1

，與n=k時不等式的左邊比較即可得到答案．

解答：解：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜f（n）（n≥2，n∈N^*）的過程中，
假設(shè)n=k時不等式成立，左邊=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

，
則當n=k+1時，左邊=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1-1

，
∴由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊增加了：

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1-1

，
共（2^k+1-1）-2^k+1=2^k項，
故選：D．

點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查觀察、推理與運算能力，屬于中檔題．