Question

如圖所示在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點．
（1）求證：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求證：B₁C⊥平面ABC₁D₁；
（3）設(shè)四棱錐B₁-ABC₁D₁的體積為V₁，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V₂，求

V1

V2

．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得EF∥BD₁，由此能證明EF∥平面ABC₁D₁．
（2）由已知得B₁C⊥BC₁，B₁C⊥D₁C₁，由此能證明B₁C⊥平面ABC₁D₁．
（3）由V₁=

1

3

×

1

2

V2=

1

6

V2，能求出

V1

V2

=

1

6

．

解答： （1）證明：∵E、F分別為DD₁、DB的中點，
∴EF∥BD₁，
∵EF不包含于平面ABC₁D₁，BD₁?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
（2）證明：∵BCC₁D₁是正方形，
∴B₁C⊥BC₁，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C⊥D₁C₁，
又D₁C₁∩BC₁=C₁，
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁．
（3）解：∵四棱錐B₁-ABC₁D₁的體積為V₁，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V₂，
∴V₁=

1

3

×

1

2

V2=

1

6

V2，
∴

V1

V2

=

1

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查兩個幾何體的體積之比的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．