Question

【題目】定義個(gè)數(shù)的“倒均值”.

（1）若數(shù)列的前項(xiàng)，的“倒均值”. 求的通項(xiàng)公式

（2）在（1）的條件下，令，試研究數(shù)列的單調(diào)性，并給出證明.

（3）在（2）的條件下，設(shè)函數(shù)，對(duì)于數(shù)列，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立？若存在，求出在最小的實(shí)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）數(shù)列為增函數(shù)，證明見(jiàn)解析

（3）存在，

【解析】

（1）由“倒均值”的定義求解即可；

（2）由定義法證明數(shù)列的單調(diào)性即可；

（3）利用最值法可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，從而求解的范圍即可得解.

解：（1）由“倒均值”的定義及的“倒均值”為，

則，

所以，

當(dāng)時(shí)， ，

又當(dāng)時(shí)，，滿足上式，

即，

故的通項(xiàng)公式為；

（2）由（1）得：，

則數(shù)列為增函數(shù)，證明如下：

，即，

故數(shù)列為增函數(shù)；

（3）存在，理由如下：

由（2）可得：當(dāng)時(shí)，取最小值，

設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，

則存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，

解二次不等式，

解得：或，

即存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，

即最小的實(shí)數(shù)為.