Question

已知數(shù)列，首項(xiàng)，若二次方程的根α、β且滿足3α+αβ+3β=1，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=________．

Answer 1

分析：由韋達(dá)定理得到α+β=，α•β=-，從而可得3a_n+1=a_n+1，可分析出{a_n-}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是可求得a_n，利用分組求和法即可求得S_n．
解答：依題意得：α+β=，α•β=-，
∵3α+αβ+3β=1，
∴3•-=1．
∴3a_n+1=a_n+1，
∴3（a_n+1-）=a_n-，
∴=，又，
∴a₁-=，
∴{a_n-}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
∴a_n-=•=．
∴a_n=+．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=[++…+]+n
=-+．
故答案為：+-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，確定{a_n-}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵，屬于中檔題．