解:(Ⅰ)
,
,
.
(Ⅱ)根據(jù)計(jì)算結(jié)果,可以歸納出
.
當(dāng)n=1時(shí),
,與已知相符,歸納出的公式成立.
假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N
*)時(shí),公式成立,即
,
那么,
.
所以,當(dāng)n=k+1時(shí)公式也成立.
綜上,
對于任何n∈N
*都成立.
分析:(Ⅰ)根據(jù)設(shè)
,x
1=1,x
n=f(x
n-1),分別令n=2,3,4時(shí),代入已知條件即可求得結(jié)果;
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的計(jì)算結(jié)果,可以歸納出{x
n}的通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法①驗(yàn)證n=1成立,②假設(shè)n=k時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.
點(diǎn)評:本題是中檔題,考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題的方法,考查邏輯推理能力,計(jì)算能力.注意在證明n=k+1時(shí)用上假設(shè),化為n=k的形式,是數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心和關(guān)鍵.