Question

P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂ 是兩個焦點(diǎn)，則|PF₁|•|PF₂|的最大值與最小值之差是________．

Answer 1

5
分析：由題意，設(shè)|PF₁|=x，故有|PF₁|•|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9，其中．根據(jù) 函數(shù)y=-x²+6x在（，3）上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，可求y=-x²+6x的最小值與最大值，從而可求|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值之差．
解答：由題意，設(shè)|PF₁|=x，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PF₂|=6-x
∴|PF₁|•|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9
∵橢圓，a=3
∴
∵函數(shù)y=-x²+6x在（，3）上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減
∴x=時，y=-x²+6x取最小值，
x=3時，y=-x²+6x取最大值為9
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值之差為9-4=5
故答案為：5
點(diǎn)評：本題以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查橢圓定義的運(yùn)用，考查函數(shù)的構(gòu)建，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．