Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+1=an+

an2+1

，令a_n=tanθ_n(0＜θn＜

π

2

)，
求證：（1）數(shù)列{θn-

π

2

}是等比數(shù)列．
（2）a1+a2+…+an＞

(n-1)π

2

．

Answer 1

分析：（1）由a1=1，an+1=an+

an2+1

，∴an＞0．所以an+1=tanθn+1=tanθn+

tan2θn+1

=

1+sinθn

cosθn

=tan(

π

4

+

θn

2

)，由此能夠推出數(shù)列{θn-

π

2

}是等比數(shù)列．
（2）由題設(shè)知θn-

π

2

=(

1

2

)n-1(-

π

4

)，θn=

π

2

-(

1

2

)n-1(-

π

4

)．再由θn∈(0，

π

2

)，知a₁+a₂++a_n＞θ₁+θ₂+…+θ_n．由此可導(dǎo)出a₁+a₂++a_n＞

(n-1)π

2

．

解答：證明：（1）∵a1=1，an+1=an+

an2+1

，∴an＞0．a1=tanθ1，∵θ1∈(0，

π

2

)，∴θ1=

π

4

.
∴an+1=tanθn+1=tanθn+

tan2θn+1

=

1+sinθn

cosθn

=tan(

π

4

+

θn

2

)，
∵θn+1∈(0，

π

2

)，θn∈(0，

π

2

)，∴θn+1=

1

2

θn+

π

4

，∴θn+1-

π

2

=

1

2

(θn-

π

2

)．
∴數(shù)列{θn-

π

2

}是等比數(shù)列．
（2）∵數(shù)列{θn-

π

2

}是等比數(shù)列，∴θn-

π

2

=(

1

2

)n-1(-

π

4

)，θn=

π

2

-(

1

2

)n-1(-

π

4

)．
∵θn∈(0，

π

2

)，∴tanθ_n＞θ_n，∴a₁+a₂++a_n＞θ₁+θ₂+…+θ_n．
∵θ₁+θ₂++θ_n=

nπ

2

-

π

4

(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)
=

nπ

2

-

π

4

(2-

1

2n-1

)=

(n-1)π

2

+

π

4

•

1

2n-1

＞

(n-1)π

2

，∴a₁+a₂++a_n＞

(n-1)π

2

．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運用．