Question

已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂a₃=a₄，a₁+a₂+a₃=21．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=1+log₂a_n（n∈N）b_n=1+log₂a_n（n∈N），求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件列出方程求解，首項與公比，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）化簡數(shù)列{

1

bnbn+1

}的通項公式，利用裂項法求解數(shù)列的前n項和S_n．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由題意得

a 2 1 q3=a1q3 a1(1+q+q2)=21

（4分）
∵a₁＞0，q＞0，
∴解得a₁=1，q=4（6分）
∴{a_n}的通項公式為an=4n-1（7分）
（2）∵bn=1+log24n-1=1+log222n-2=2n-1（9分）
∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)（11分）
∴Sn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

（13分）

點評：本題考查數(shù)列求和的基本方法，裂項法的應(yīng)用，基本知識的考查．