Question

已知：

a

、

b

、

c

是同一平面內的三個向量，其中

a

=（1，2）
（1）若|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，求

c

的坐標；
（2）若|

b

|=

5

2

，且

a

+2

b

與2

a

-

b

垂直，求

a

與

b

的夾角θ．

Answer 1

分析：（1）設

c

=(x，y)，由|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，知

y-2x=0 x2+y2=20

，由此能求出

c

的坐標．
（2）由(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)，知(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，整理得

a

•

b

=-

5

2

，故cosθ=

a • b

| a | •| b |

=-1，由此能求出

a

與

b

的夾角θ．

解答：解：（1）設

c

=(x，y)，
∵|

c

|=2

5

，且

c

∥

a

，
∴

y-2x=0 x2+y2=20

，…（3分）
解得

x=2 y=4

 或

x=-2 y=-4

，…（5分）
故

c

=(2，4) 或

c

=(-2，-4)．…（6分）
（2）∵(

a

+2

b

)⊥(2

a

-

b

)，
∴(

a

+2

b

)•(2

a

-

b

)=0，
 即2

a

2+3

a

•

b

-2

b

 2=0，…（8分）
∴2×5-3

a

•

b

-2×

5

4

=0，
整理得

a

•

b

=-

5

2

，…（10分）
∴cosθ=

a • b

| a | •| b |

=-1，…（12分）
又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）

點評：本題考查平面向量的坐標運算和數量積判斷兩個平面垂直的條件的靈活運用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．