Question

己知函數(shù)f(x)=

x3-2x2

ex

（Ⅰ）求f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞）時af(x)+f′(x)＜

4x2

ex

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)f'（x），利用導數(shù)和函數(shù)的極值之間的關系，即可求f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）當x∈（0，+∞）時，af(x)+f′(x)＜

4x2

ex

恒成立，轉化求求函數(shù)的最值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為R，
f'（x）=

-x(x2-5x+4)

ex

=

-x(x-1)(x-4)

ex

，
f'（x）的符號變化情況如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+		-		+		-
f（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增	極大	遞減

∴f（x）的極大值為f（0）=0和f（4）=

32

e4

，
極小值為f（1）=-

1

e

．
（Ⅱ）當x∈（0，+∞）時，af(x)+f′(x)＜

4x2

ex

恒成立，
等價為a（x-2）＜（x-1）（x-4）+4，
令x-2=t，則x=t+2，（t＞-2），
代入上述不等式得at＜a²-t+2，
①當x＞2時，x-2＞0，即t＞0，此時不等式等價為a＜t+

2

t

-1，
∵t+

2

t

-1≥2

t• 2 t

-1=2

2

-1，當且僅當t=

2

t

，即t=

2

，x=2+

2

時取等號．
∴a＜2

2

-1．
②當x=2，即t=0，此時不等式at＜a²-t+2恒成立．
③當0＜x＜2，即-2＜t＜0，不等式at＜a²-t+2等價為a＞t+

2

t

-1，
∵t+

2

t

-1=-[（-t）+（-

2

t

）]-1≤-2

(-t)•(- 2 t )

-1=-1-2

2

，
當且僅當-t=-

2

t

，即t=-

2

，即x=2-

2

時，等號成立．
∴a＞-1-2

2

．
綜上a的取值范圍是-1-2

2

＜a＜2

2

-1．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值和導數(shù)之間的關系，考查學生的計算能力，運算量較大，綜合性較強．