Question

已知數列{a_n}的前n項和為Sn，且S_n=n²+n
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=a_n2ⁿ（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）當n=1時，a₁=S₁=2；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由已知：bn=2n•2n=n•2n+1，由此利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2…（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n，
n=1時，也適合上式．
∴a_n=2n．…（6分）
（2）由已知：bn=2n•2n=n•2n+1，
∵Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，①
∴2T_n=1•2³+2•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，②…（8分）
①-②得：-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．…（12分）

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．