Question

在△ABC中，A（cosθ，sinθ）(0＜θ＜

π

2

)，B（1，0），C（0，1），
（1）用θ表示△ABC的面積S（θ）；
（2）求△ABC面積的最大值；
（3）函數(shù)y=S（θ）的圖象可由函數(shù)y=sinθ的圖象經(jīng)過(guò)怎樣變換得到．

Answer 1

分析：（1）求出點(diǎn)A（cosθ，sinθ） 到直線BC  x+y-1=0的距離d，又 AB=

2

，由S（θ）=

1

2

•AB•d 化簡(jiǎn)可得S（θ）=sin（θ+

π

4

）-

1

2

．
（2）由以上可得 

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，故當(dāng)θ+

π

4

=

π

2

 時(shí)，smax=

2

2

-

1

2

．
（3）把y=sinθ的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

2

2

，再把圖象向下平移

1

2

個(gè)單位 可得y=S（θ）的圖象．

解答：解：（1）BC邊所在的直線方程為 x+y-1=0，點(diǎn)A（cosθ，sinθ） 到直線方程 x+y-1=0的距離d
等于  

|cosθ +sinθ-1|

2

，AB=

2

，∴△ABC的面積S（θ）=

1

2

•AB•d=

|cosθ +sinθ-1|

2

=
sin（θ+

π

4

）-

1

2

，(0＜θ＜

π

2

)．
（2）由以上可得 

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，故當(dāng)θ+

π

4

=

π

2

 時(shí)，smax=

2

2

-

1

2

，
即△ABC面積的最大值為 

2

2

-

1

2

．
（3）把y=sinθ的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，可得y=sin（θ+

π

4

）的圖象，再把縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

2

2

，橫坐標(biāo)不變，
可得y=

2

2

sin（θ+

π

4

）的圖象，再把y=

2

2

sin（θ+

π

4

）的圖象向下平移

1

2

個(gè)單位，即可得到函數(shù)y=S（θ）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，求三角函數(shù)的最值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象的變換，求出△ABC的面積S（θ）的解析式，是解題的關(guān)鍵．