設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足數(shù)學(xué)公式．
（Ⅰ）若數(shù)學(xué)公式，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需證明）；
（Ⅱ）記bn=a3a2…an（n∈N*），若bn≥2數(shù)學(xué)公式對n≥2恒成立，求a2的值及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

解：（Ⅰ）因a1=2，a2=2-2，故，

由此有a1=2（-2）0，a2=2（-2）2，a3=2（-2）2，a4=2（-2）3，、
故猜想|an|的通項(xiàng)為an=2（-2）n-1（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n項(xiàng)和，則bn=2Sn．
由題設(shè)知x1=1且；①
．②
因②式對n=2成立，有．③
下用反證法證明：．
由①得．
因此數(shù)列|xn+1+2xn|是首項(xiàng)為x2+2，公比為的等比數(shù)列．
故．④
又由①知，
因此是是首項(xiàng)為，公比為-2的等比數(shù)列，
所以．⑤
由④-⑤得．⑥
對n求和得．⑦
由題設(shè)知．
．
即不等式22k+1＜
對k∈N*恒成立．但這是不可能的，矛盾．
因此x2≤，結(jié)合③式知x2=，因此a2=2*2=．
將x2=代入⑦式得
Sn=2-（n∈N*），
所以bn=2Sn=22-（n∈N*）
分析：（Ⅰ）由題意可知，由此可猜想|an|的通項(xiàng)為an=2（-2）n-1（n∈N*）．
（Ⅱ）令xn=log2an，Sn表示xn的前n項(xiàng)和，則bn=2Sn．由題設(shè)知x1=1且；．由此入手能夠求出a2的值及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題．仔細(xì)解答，避免出錯(cuò)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足5an，5bn，5an+1成等比數(shù)列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差數(shù)列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通項(xiàng)an、bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{
Sn
}是公差為d的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用n，d表示）；
（2）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求證：c的最大值為
9
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{
Sn
}是公差為d的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（用n，d表示）；
（Ⅱ）設(shè)c為實(shí)數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求c的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣東）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn=
a
2
n+1
-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）證明：a2=
4a1+5
；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對于任意的正整數(shù)n都有等式Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an（n∈N*）成立．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令數(shù)列bn=|c|
an
2n
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若Tn＞8對n∈N*恒成立，求c的取值范圍．

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