已知定點C(-1,0)及橢圓x2+3y2=5,過點C的動直線與橢圓相交于    A,B兩點.

    ⑴若線段AB中點的橫坐標是-,求直線AB的方程;

    ⑵在x軸上是否存在點M,使為常數(shù)?若存在,求出點M的坐標;若不存在,    請說明理由.

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解  (1)依題意,直線AB的斜率存在,設直線AB的方程為y=k(x+1),

將y=k(x+1)代入x2+3y2=5,

消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.                   …………2 分 

設A(x1,y1),B(x2,y2),

 
                       …………4分

由線段AB中點的橫坐標是-

=-=-,解得k=±,適合①.          ……………6分

所以直線AB的方程為x-y+1=0,或x+y+1=0.………………7分

(2)假設在x軸上存在點M(m,0),使為常數(shù).

(ⅰ)當直線AB與x軸不垂直時,由(1)知

x1+x2=-,x1x2=.              ③

所以=(x1-m)(x2-m)+y1y2

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)

=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.                …………9分

將③代入,整理得

=+m2

=+m2

=m2+2m--.       ………………11分

注意到是與k無關的常數(shù),從而有

6m+14=0,m=-,此時=.        ………………12分

(ⅱ)當直線AB與x軸垂直時,

此時點A,B的坐標分別為

、,

當m=-時,亦有=.

綜上,在x軸上存在定點M,使為常數(shù).  …………14分

練習冊系列答案
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已知定點C(-1,0)及橢圓x2+3y2=5,過點C的動直線與橢圓相交于A,B兩點.
(Ⅰ)若線段AB中點的橫坐標是-
1
2
,求直線AB的方程;
(Ⅱ)在x軸上是否存在點M,使
MA
MB
為常數(shù)?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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(Ⅰ)若線段AB中點的橫坐標是-
1
2
,求直線AB的方程;
(Ⅱ)設點M的坐標為(-
7
3
,0)
,求
MA
MB
的值.

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090423

 
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(Ⅰ)若線段AB中點的橫坐標是,求直線AB的方程;
(Ⅱ)設點M的坐標為,求的值.

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