已知定點C(-1,0)及橢圓x2+3y2=5,過點C的動直線與橢圓相交于 A,B兩點.
⑴若線段AB中點的橫坐標是-,求直線AB的方程;
⑵在x軸上是否存在點M,使為常數(shù)?若存在,求出點M的坐標;若不存在, 請說明理由.
解 (1)依題意,直線AB的斜率存在,設直線AB的方程為y=k(x+1),
將y=k(x+1)代入x2+3y2=5,
消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. …………2 分
設A(x1,y1),B(x2,y2),
|
由線段AB中點的橫坐標是-,
得=-
=-
,解得k=±
,適合①. ……………6分
所以直線AB的方程為x-y+1=0,或x+
y+1=0.………………7分
(2)假設在x軸上存在點M(m,0),使為常數(shù).
(ⅰ)當直線AB與x軸不垂直時,由(1)知
x1+x2=-,x1x2=
.
③
所以=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)
=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2. …………9分
將③代入,整理得
=
+m2
=+m2
=m2+2m--
.
………………11分
注意到是與k無關的常數(shù),從而有
6m+14=0,m=-,此時
=
. ………………12分
(ⅱ)當直線AB與x軸垂直時,
此時點A,B的坐標分別為
、
,
當m=-時,亦有
=
.
綜上,在x軸上存在定點M,使
為常數(shù). …………14分
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科目:高中數(shù)學 來源:2007-2008學年北京市西城區(qū)高二(下)期中數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題
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