(2010•濟(jì)南一模)已知函數(shù)f(x)=x3-bx2+2cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.
(1)求b的值;
(2)若函數(shù)f(x)無極值求c的取值范圍;
(3)若f(x)在x=t處取得極小值,記此極小值為g(t),求g(t)的定義域和值域.
分析:(1)先求導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,可知-
-2b
6
=2,從而可求b的值;
(2)函數(shù)f(x)無極值,即導(dǎo)函數(shù)為0的方程至多有一解,從而可求c的取值范圍;
(3)由(2)知,c<6,f'(x)=0有兩個(gè)異實(shí)根x1,x2,不妨設(shè)x1<x2,則x1<2<x2,易得f(x)在x=x1處取極大值,在x=x2處取極小值,且x2>2,可知函數(shù)g(t)的定義域?yàn)椋?,+∞),根據(jù)f'(t)=3t2-12t+2c=0得2c=-3t2+12t.從而可得g(t)=f(t)=t3-6t2+(-3t2+12t)t=-2t3+6t2,再利用函數(shù)g(t)在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)是減函數(shù),可求函數(shù)g(t)的值域.
解答:解:(1)f'(x)=3x2-2bx+2c…(1分)
∵函數(shù)f'(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,
∴-
-2b
6
=2,即b=6.…(4分)
(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,f'(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12…(6分)
當(dāng)c≥6時(shí),f'(x)≥0,此時(shí)f(x)無極值   …(8分)
(3)當(dāng)c<6時(shí),f'(x)=0有兩個(gè)異實(shí)根x1,x2,不妨設(shè)x1<x2,則x1<2<x2
當(dāng)x<x1時(shí),f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(-∞,x1)內(nèi)為增函數(shù);
當(dāng)x1<x<x2時(shí),f'(x)<0,f(x)在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)為減函數(shù);
當(dāng)x>x2時(shí),f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(x2,+∞)內(nèi)為增函數(shù).
所以f(x)在x=x1處取極大值,在x=x2處取極小值  …(10分)
因此,當(dāng)且僅當(dāng)c<6時(shí),函數(shù)f(x)在x=x2處存在唯一極小值,所以t=x2>2
于是g(t)的定義域?yàn)椋?,+∞),由f'(t)=3t2-12t+2c=0得2c=-3t2+12t.
于是g(t)=f(t)=t3-6t2+(-3t2+12t)t=-2t3+6t2,t∈(2,+∞)…(12分)
當(dāng)t>2時(shí),g'(t)=-6t2+12t=-6t(t-2)<0,所以函數(shù)g(t)在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)是減函數(shù),
故g(t)的值域?yàn)椋?∞,8).…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以導(dǎo)函數(shù)為載體,考查導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì),考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,同時(shí)考查了函數(shù)的定義域與值域,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
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(2010•濟(jì)南一模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的長軸長為4.
(1)若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y=x+2相切,求橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn),過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M,N兩點(diǎn),記直線PM,PN的斜率分別為kPM,kPN,當(dāng)kPMkPN=-
1
4
時(shí),求橢圓的方程.

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π
2
|,若a=(1,1),b=(cos?,-sinφ)
,且
a
b
,又知函數(shù)
f(x)的周期為π.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若將f(x)的圖象向右平移
π
6
個(gè)單位得到g(x)的圖象,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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