Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=a_n+

1

an

（n=1，2，…）．
（1）證明a_n＞

2n+1

對(duì)一切正整數(shù)n都成立；
（2）令b_n=

an

n

（n=1，2，…），判定b_n與b_n+1的大小，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可證明a_n＞

2n+1

對(duì)一切正整數(shù)n都成立；
（2）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系判斷

bn+1

bn

＜1即可．

解答： （1）證法一：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2＞

2×1+1

，不等式成立．
假設(shè)n=k時(shí)，a_k＞

2k+1

成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1²=a_k²+

1

ak2

+2＞2k+3+

1

ak 2

＞2（k+1）+1，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1＞

2(k+1)+1

成立．
綜上，由數(shù)學(xué)歸納法可知，a_n＞

2n+1

對(duì)一切正整數(shù)成立．
證法二：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2＞

3

=

2×1+1

結(jié)論成立．
假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k＞

2k+1

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，由函數(shù)f（x）=x+

1

x

（x＞1）的單調(diào)遞增性和歸納假設(shè)有
a_k+1=a_k+

1

ak

＞

2k+1

+

1

2k+1

=

2k+1+1

2k+1

=

2k+2

2k+1

=

4k2+8k+4

2k+1

＞

(2k+3)(2k+1)

2k+1

=

2k+3

．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
因此，a_n＞

2n+1

對(duì)一切正整數(shù)n均成立．
（2）解：

bn+1

bn

=

an+1 n+1

an n

=（1+

1

an2

）

n

n+1

＜（1+

1

2n+1

）

n

n+1

=

2(n+1) n

(2n+1) n+1

=

2 n(n+1)

2n+1

=

(n+ 1 2 )2- 1 4

n+ 1 2

＜1．
故b_n+1＜b_n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．