Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E是AB的中點(diǎn)，P是B₁C的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面B₁ED；
（Ⅱ）求點(diǎn)P到平面B₁ED的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取B₁D的中點(diǎn)O，連接OE，OP，由題設(shè)條件推導(dǎo)出OP∥CD，BE∥CD，從而得到PB∥OE，由此能夠證明PB∥平面B₁ED．
（Ⅱ）由題設(shè)條點(diǎn)P到平面B₁ED的距離等于點(diǎn)B到平面B₁ED的距離，由此利用等積法能求出點(diǎn)P到平面B₁ED的距離．

解答： （Ⅰ）證明：取B₁D的中點(diǎn)O，連接OE，OP，
在△B₁CD中，P是B₁C的中點(diǎn)，O是B₁D的中點(diǎn)，
∴OP∥CD，且OP=

1

2

CD，
正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，
∴BE∥CD，且BE=

1

2

CD，
∴OP∥BE且OP=BE，∴PB∥OE，
又PB?平面B₁ED，OE?平面B₁ED
∴PB∥平面B₁ED．…（6分）
（Ⅱ）解：∵PB∥平面B₁ED，
∴點(diǎn)P到平面B₁ED的距離等于點(diǎn)B到平面B₁ED的距離，設(shè)其為h，
∵S△BED=

1

2

BE•AD=

1

4

，
VB1-BED=

1

3

S△BED•B1B=

1

12

在△B₁ED中，B1E=DE=

5

2

，B1D=

3

在△EOD中，可得EO=

DE2-DO2

=

2

2

，
∴S△B1ED=

1

2

B1D•EO=

6

4

VB-B1ED=

1

3

S△B1ED•h=

6

12

h，
由VB-B1ED=VB1-BED得，

6

12

h=

1

12

，∴h=

6

6

∴點(diǎn)P到平面B₁ED的距離等于

6

6

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)到直線的距離的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，要注意等積法的合理運(yùn)用．