Question

已知點A（0，1），點B在曲線C₁：y=e^x-1上，若線段AB與曲線C₂：y=

1

x

相交且交點恰為線段AB的中點，則稱點B為曲線C₁與曲線C₂的一個“相關(guān)點”，記曲線C₁與曲線C₂的“相關(guān)點”的個數(shù)為n，則（　�。�

• A、n=0
• B、n=1
• C、n=2
• D、n＞2

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)B（t，e^t-1），求出AB的中點為P，利用已知條件列出et=

4

t

，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，判斷方程解的個數(shù)，即可．

解答： 解：設(shè)B（t，e^t-1），則AB的中點為P(

t

2

，

et

2

)，所以有

et

2

=

2

t

，即et=

4

t

，
所以“相關(guān)點”的個數(shù)就是方程ex=

4

x

解的個數(shù)，
由于y=e^x的圖象在x軸上方，且是R上增函數(shù)，
y=

4

x

在（0，+∞）上是減函數(shù)，
所以它們的圖象只有一個交點，即n=1，
故選B．

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．