Question

已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)（x∈R），如：[-1，3]=-2，[0，8]=0，[3，4]=3．定義{x}=x-[x]，給出如下命題：
①使[x+1]=3成立的x的取值范圍是2≤x＜3；
②函數(shù)y={x}的定義域為R，值域為[0，1]；
③{

2013

2014

}+{

20132

2014

}+{

20133

2014

}+…+{

20132014

2014

}=1007；
④設(shè)函數(shù)f（x）=

x-[x]    x≥0 f(x+1)，x＜0

，則函數(shù)y=f（x）-

1

4

x-

1

4

的不同零點有3個．
其中正確的命題有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，即可判斷[x+1]=3的x的取值范圍；
②函數(shù){x}的定義域為R，推出函數(shù)的最小正周期為1，再推出當(dāng)0≤x＜1時，y={x}的值域，從而判斷②；
③推出n分別為偶數(shù)、奇數(shù)時，{

2013n

2014

}=

1

2014

或1-

1

2014

，從而判斷③的正確性；
④可先求出0≤x＜3，-3≤x＜0的f（x）的表達式，令y=0，則f（x）=

1

4

x+

1

4

，然后在同一個坐標系中，畫出函數(shù)y=f（x）和y=

1

4

x+

1

4

的圖象，找出交點個數(shù)即可．

解答： 解：①已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，由[x+1]=3得3≤x+1＜4即2≤x＜3，故①正確；
②函數(shù){x}的定義域為R，又由{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，故函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，
當(dāng)0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，故函數(shù){x}的值域為[0，1），故②錯誤；
③當(dāng)n為偶數(shù)時，{

2013n

2014

}={

(2014-1)n

2014

}={2014^n-1-n•2014^n-2+…-n+

1

2014

}=

1

2014

，
當(dāng)n為奇數(shù)時，{

2013n

2014

}={

(2014-1)n

2014

}={2014^n-1-n•2014^n-2+…+n-

1

2014

}=1-

1

2014

，
故{

2013

2014

}+{

20132

2014

}+{

20133

2014

}+…+{

20132014

2014

}=（

2013

2014

+

1

2014

）+（

2013

2014

+

1

2014

）+…+
（

2013

2014

+

1

2014

）=1007，故③正確；
④當(dāng)0≤x＜1時，f（x）=x-[x]=x-0=x，當(dāng)1≤x＜2，則f（x）=x-1，
當(dāng)2≤x＜3，則f（x）=x-2，…
當(dāng)-1≤x＜0，則0≤x+1＜1，則f（x）=f（x+1）=x+1，
當(dāng)-2≤x＜-1，則-1≤x+1＜0，則f（x）=f（x+1）=x+2，
當(dāng)-3≤x＜-2，則-2≤x+1＜-1，則f（x）=f（x+1）=x+3，…
令y=0，則f（x）=

1

4

x+

1

4

，在同一個坐標系中，畫出函數(shù)y=f（x）和
y=

1

4

x+

1

4

的圖象，顯然有3個交點，故④正確．
故選C．

點評：本題是新定義題，考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查函數(shù)的定義域、值域以及函數(shù)的周期性，運用圖象相交的交點個數(shù)來確定函數(shù)的零點個數(shù)，對定義的準確理解是迅速解題的關(guān)鍵．