Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．問(wèn)函數(shù)f（x）是否為R上的單調(diào)遞減函數(shù)？若是，求出a的取值范圍；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷f'（x）≤0是否成立即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=（-x²+ax）e^x，
∴f'（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，
要使函數(shù)f（x）是否為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
則f'（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x≤0，
即-x²+（a-2）x+a≤0，
∴x²-（a-2）x-a≥0恒成立，
∴△=（a-2）²+4a²≤0，
∴5a²-4a+4≤0，
∵△₁=16-4×5×4=-64＜0，
∴5a²-4a+4≤0不成立，
即函數(shù)f（x）在R上的不可能是單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用導(dǎo)數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握一元二次不等式的解法．