Question

已知數(shù)列a_n、b_n中，對任何正整數(shù)n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若數(shù)列a_n是首項和公差都是1的等差數(shù)列，求證：數(shù)列b_n是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列b_n是等比數(shù)列，數(shù)列a_n是否是等差數(shù)列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；
（3）若數(shù)列a_n是等差數(shù)列，數(shù)列b_n是等比數(shù)列，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求a_n=n，代入已知可得b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，則b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2）兩式相減可求數(shù)列b_n
（2）同（1）可得，結(jié)合q的取值及等差數(shù)列的通項公式可求
（3）利用放縮不等式可證
解答：解：（1）依題意數(shù)列a_n的通項公式是a_n=n，
故等式即為b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2），
兩式相減可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1（3分）
得b_n=2^n-1，數(shù)列b_n是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．（4分）
（2）設(shè)等比數(shù)列b_n的首項為b，公比為q，則b_n=bq^n-1，從而有：bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2（6分）
，
要使a_n+1-a_n是與n無關(guān)的常數(shù)，必需q=2（8分）
即①當(dāng)?shù)缺葦?shù)列b_n的公比q=2時，數(shù)列a_n是等差數(shù)列，其通項公式是；
②當(dāng)?shù)缺葦?shù)列b_n的公比不是2時，數(shù)列a_n不是等差數(shù)列．（9分）
（3）由（2）知a_nb_n=n•2^n-1，（10分）
顯然n=1，2時
當(dāng)n≥3時
＜（14分）
==（16分）
點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式及由數(shù)列的“和”轉(zhuǎn)化為“項”的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和推理論證能力．解題中體現(xiàn)了分類討論的思想在解題中的應(yīng)用．