Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，側面PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=DB=

2

2

AB
（1）若M為PC上任一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；
（2）若四棱錐P-ABCD的體積為

3

2

，求AD長．

Answer 1

分析：（1）要證平面MBD⊥平面PAD，只要證其中一個面經過另一個面的一條垂線即可，由題目給出的三角形PAD為等邊三角形，取AD中點N，連接PN，有PN⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，所以可得PN⊥面ABCD，則有PN⊥BD，在三角形ADB中，根據邊的關系可證AD⊥BD，利用線面垂直的判定可得BD⊥面PAD，則平面MBD⊥平面PAD；
（2）設AD長為x，在底面等腰直角三角形中，把底面平行四邊形的邊和高都用x表示，在等邊三角形PAD中，四棱錐的高PN也用x表示，代入體積公式中可求x的值．

解答：（1）證明：如圖，

取AD中點N，連接PN，
∵△PAD為正三角形，∴PN⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，∴PN⊥面ABCD，
又BD?面ABCD，∴PN⊥BD，
在△ABD中，∵AD=BD=

2

2

AB，
∴AD2+BD2=(

2

2

AB)2+(

2

2

AB)2=AB2
∴BD⊥AD，
又AD∩PN=N，∴BD⊥面PAD．
又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD．
（2）解：設AD=x，則AB=

2

x，
過D作DG⊥AB于G，
∵△ADB為等要直角三角形，∴DG=

2

2

x．
∴S四邊形ABCD=AB×DG=

2

x•

2 x

2

=x2．
在等邊三角形PAD中，PN=

3 x

2

．
由VP-ABCD=

1

3

×SABCD×PN=

1

3

x2•

3 x

2

=

3

2

，得：x=

3

．
即AD=

3

．

點評：本題考查了空間中線面垂直的判定和性質，考查了面面垂直的判定，考查了學生的空間想象和思維能力，考查了棱錐的體積公式，此題是中檔題．