已知△ABC的三邊AB,BC,CA的長(zhǎng)成等差數(shù)列,且|AB|>|CA|,又B(-1,0),C(1,0),求點(diǎn)A的軌跡方程,并指明它是什么曲線.
解:已知AB、BC、CA成等差數(shù)列,則:|AB|+|AC|=2|BC|
∵點(diǎn)B(-1,0),C(1,0),∴|BC|=2
所以,|AB|+|AC|=2|BC|=4
按照橢圓的定義,點(diǎn)A的軌跡就是以B、C為焦點(diǎn),到B、C距離之和為4的橢圓
∵焦點(diǎn)B、C在x軸上,故設(shè)橢圓為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29.png)
(a>b>0)
由已知有:c=1,a=2
所以,b
2=a
2-c
2=4-1=3
又已知|AB|>|AC|
所以點(diǎn)A位于上述橢圓的右半部分,且點(diǎn)A不能與B、C在同一直線(x軸)上(否則就不能構(gòu)成三角形)
所以,點(diǎn)A的軌跡方程是:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2913.png)
(0<x<2)
分析:通過(guò)等差數(shù)列推出,|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照橢圓的定義,點(diǎn)A的軌跡就是以B、C為焦點(diǎn),到B、C距離之和為4的橢圓,從而進(jìn)一步可求橢圓的方程.
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查橢圓的定義,等差數(shù)列的應(yīng)用,正確運(yùn)用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵,同時(shí)應(yīng)注意變量的范圍.