Question

【題目】口袋中裝有2個(gè)白球和n（n≥2，nN*）個(gè)紅球．每次從袋中摸出2個(gè)球（每次摸球后把這2個(gè)球放回口袋中），若摸出的2個(gè)球顏色相同則為中獎(jiǎng)，否則為不中獎(jiǎng)．

（I）用含n的代數(shù)式表示1次摸球中獎(jiǎng)的概率；

（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中獎(jiǎng)的概率；

（III）記3次摸球中恰有1次中獎(jiǎng)的概率為f（p），當(dāng)f（p）取得最大值時(shí)，求n的值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）當(dāng)f（p）取得最大值時(shí)，n的值為2.

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合古典概型公式可得所求概率值為；

(2)利用二項(xiàng)分布可得3次摸球中恰有1次中獎(jiǎng)的概率是；

(3)結(jié)合概率函數(shù)的解析式可得當(dāng)f（p）取得最大值時(shí)，n的值為2．

試題解析：

（I）設(shè)“1次摸球中獎(jiǎng)”為事件A，則P（A）=，

（II）由（I）得，若n=3，則1次摸球中獎(jiǎng)的概率為p===，

所以3次摸球中，恰有1次中獎(jiǎng)的概率為P3（1）=，

（III）設(shè)“1次摸球中獎(jiǎng)”的概率為p，

則3次摸球中，恰有1次中獎(jiǎng)的概率為

f（p）=Cp（1-p）2 =3p3-6p2+3p（0<p<1），

因?yàn)?/span>f'（p）=9p2-12p+3=3（p-1）（3p-1），

所以，當(dāng)p∈（0， ）時(shí)，f（p）單調(diào)遞增；當(dāng)p∈（，1）時(shí)，f（p）單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)p=時(shí)，f（p）取得最大值．

令，解得n=2，n=1（舍去）．

所以，當(dāng)f（p）取得最大值時(shí)，n的值為2．