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1.已知函數(shù)fx=12x2+1axalnx
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)設(shè)a<0,若對?x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出f(x)的定義域為(0,+∞),求導數(shù),若a≤0,若a>0,判斷導函數(shù)的符號,然后推出函數(shù)的單調(diào)性.
(Ⅱ)不妨設(shè)x1≤x2,而a<0,由(Ⅰ)知,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,從而?x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等價于?x1,x2∈(0,+∞),4x1-f(x1)≥4x2-f(x2),令g(x)=4x-f(x),通過函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的最值,推出結(jié)果.

解答 解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞),
求導數(shù),得fx=x+1aax=x2+1axax=x+1xax,
若a≤0,則f'(x)>0,此時f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
若a>0,則由f'(x)=0得x=a,當0<x<a時,f'(x)<0,當x>a時,f'(x)>0,
此時f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增.
(Ⅱ)不妨設(shè)x1≤x2,而a<0,由(Ⅰ)知,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(x1)≤f(x2
從而?x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等價于
?x1,x2∈(0,+∞),4x1-f(x1)≥4x2-f(x2)①
令g(x)=4x-f(x),則gx=4fx=4x+1aax=axx+3+a,
因此,①等價于g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
gx=axx+3+a0對?x∈(0,+∞)恒成立,
ax23xx+1對?x∈(0,+∞)恒成立,∴ax23xx+1min,
x23xx+1=x+1+4x+152x+14x+15=1,
當且僅當x+1=4x+1,即x=1時,等號成立.
∴a≤-1,
故a的取值范圍為(-∞,-1].

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用,考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法,考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應用.

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