Question

【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E、F分別是A1C1 ， BC的中點(diǎn)．

（1）證明：平面AEB⊥平面BB1C1C；
（2）證明：C1F∥平面ABE；
（3）設(shè)P是BE的中點(diǎn)，求三棱錐P﹣B1C1F的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，

∴ ，

∴AB2+BC2=AC2，

∴AB⊥BC．

由已知AB⊥BB1，

∴AB⊥面BB1C1C，

又∵AB面ABE，

故ABE⊥面BB1C1C．

（2）證明：取AC的中點(diǎn)M，連接C1M，F(xiàn)M，在△ABC中，F(xiàn)M∥AB，∴直線FM∥面ABE．

在矩形ACC1A1中，E、M都是中點(diǎn)，∴C1M∥AE，∴直線C1M∥面ABE，

又∵C1M∩FM=M，∴面ABE∥面FMC1，故C1F∥面AEB．

（3）解：在棱AC上取中點(diǎn)G，連接EG、BG，在BG上取中點(diǎn)O，

連接PO，則PO∥BB1，∴點(diǎn)P到面BB1C1C的距離等于點(diǎn)O到平面BB1C1C的距離．

過(guò)O作OH∥AB交BC與H，則OH⊥平面BB1C1C，在等邊△BCG中，可知CO⊥BG，

∴BO=1，在Rt△BOC中，可得 ，∴ ．

【解析】（1）用勾股定理證明AB⊥BC，由直棱錐的性質(zhì)可得 AB⊥BB1 ， 證明AB⊥面BB1C1C，從而得到ABE⊥面BB1C1C．（2）取AC的中點(diǎn)M，由FM∥面ABE，C1M∥面ABE，從而面ABE∥面FMC1 ， 得到C1F∥面AEB．（3）在棱AC上取中點(diǎn)G，在BG上取中點(diǎn)O，則PO∥BB1 ， 過(guò)O作OH∥AB交BC與H，則OH為棱錐的高，求出OH 值和△B1C1F的面積，代入體積公式進(jìn)行運(yùn)算．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．