Question

已知函數(shù)f （x）=a^x+2-1（a＞0，且a≠1）的反函數(shù)為f^-1（x）．
（1）求f^-1（x）；
（2）若f^-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=，求不等式g（x）≤f^-1（x）對任意的a∈[，]恒成立的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=f （x）=a^x+2-1，求得x=log_a（y+1）-2，即可得f^-1（x）；
（2）對底數(shù)a分a＞1與0＜a＜1兩類討論，分別求得其最大值與最小值，利用f^-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；
（3）由題意可得≤，a∈[，]，轉(zhuǎn)化為不等式x²≤a³+1對任意的a∈[，]恒成立，從而可求得x的取值范圍．
解答：解：（1）令y=f （x）=a^x+2-1，于是y+1=a^x+2，
∴x+2=log_a（y+1），即x=log_a（y+1）-2，
∴f^-1（x）=log_a（x+1）-2（x＞-1）．…（3分）
（2）當(dāng)0＜a＜1時，f^-1（x）_max=loga（0+1）-2=-2，f^-1（x）_min=log_a（1+1）-2=log_a2-2，
∴-2-（log_a2-2）=2，解得a=或a=-（舍）．…（5分）
當(dāng)a＞1時，f^-1（x）_max=log_a2-2，f^-1（x）_min=-2，
∴（log_a2-2）-（-2）=2，解得a=或a=-（舍）．
∴綜上所述，a=或a=．…（7分）
（3）由已知有≤log_a（x+1）-2，即≤對任意的a∈[，]恒成立…（8分）
∵a∈[，]，
∴≤①…（10分）
由＞0且＞0知x+1＞0且x-1＞0，即x＞1，于是①式可變形為x²-1≤a³，
即等價于不等式x²≤a³+1對任意的a∈[，]恒成立．…（12分）
∵u=a³+1在a∈[，]上是增函數(shù)，
∴≤a³+1≤，于是x²≤，
解得-≤x≤．結(jié)合x＞1得1＜x≤．
∴滿足條件的x的取值范圍為（1，]．…（14分）
點評：本題考查反函數(shù)，考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查函數(shù)恒成立問題，綜合性強(qiáng)，考查化歸思想、方程思想、分類討論思想的綜合運用，屬于難題．