Question

如圖，將圓分成n個區(qū)域，用3種不同顏色給每一個區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為a_n．求
（Ⅰ）a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）a_n與a_n+1（n≥2）的關(guān)系式；
（Ⅲ）數(shù)列{a_n}的通項公式a_n，并證明a_n≥2n（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ） 當(dāng)n=1時，不同的染色方法種數(shù)a₁=3，
當(dāng)n=2時，不同的染色方法種數(shù)a₂=6，
當(dāng)n=3時，不同的染色方法種數(shù)a₃=6，
當(dāng)n=4時，分扇形區(qū)域1，3同色與異色兩種情形
∴不同的染色方法種數(shù)a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18．
（Ⅱ）依次對扇形區(qū)域1，2，3，…n，n+1染色，不同的染色方法種數(shù)為3×2ⁿ，其中扇形區(qū)域1與n+1不同色的有a_n+1種，扇形區(qū)域1與n+1同色的有a_n種
∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
（Ⅲ）∵a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
∴a₂+a3=3×2²
a₃+a₄=3×2³
…
a_n-1+a_n=3×2^n-1將上述n-2個等式兩邊分別乘以（-1）^k（k=2，3…n-1），再相加，得
a₂+（-1）^n-1a_n=3×2²-3×2³+…+3×（-1）^k×2^n-1=3×

22[1-(-2)n-1]

1-(-2)

，
∴a_n=2ⁿ+2•（-1）ⁿ從而an=

3               n=1 2n+2•(-1)n

n≥2．
（Ⅲ）證明：當(dāng)n=1時，a₁=3＞2×1
當(dāng)n=2時，a₂=6＞2×2，
當(dāng)n≥3時，
a_n=2ⁿ+2•（-1）ⁿ=（1+1）ⁿ+2•（-1）ⁿ
=1+n+C₂ⁿ+C₃ⁿ+…+C_n-2ⁿ+n+1+2•（-1）ⁿ
≥2n+2+2（-1）ⁿ≥2n，
故a_n≥2n（n∈N^*）．