已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，其中e是自然常數(shù)，

(1)若x＝1為f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；

(3)，在(1)的條件下，求證：f(x)＞g(x)＋．

答案：
解析：

　　(1)∵f(x)＝x－lnx，(x)＝1－＝

　　若(x)＞0，則1＜x＜e；若(x)＜0，則0＜x＜1

　　∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，e)上單調(diào)遞減

　　∴f(x)的最小值f(1)＝1；

　　(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)α，

　　使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，

　　(x)＝a－＝

　�、佼�(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此時(shí)f(x)無最小值．

　�、�0＜＜e時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，e]上單調(diào)遞增

　　f(x)min＝f()＝1＋lna＝3，a＝e2，滿足條件．

　�、郛�(dāng)≥e時(shí)，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞減，

　　f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，α＝(舍去)，所以，此時(shí)f(x)無最小值．

　　綜上，存在實(shí)數(shù)a＝e2，使得當(dāng)x∈(0，e]時(shí)f(x)有最小值3．

　　


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)與g(x)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是                                                   (　　)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)＝ax＋b(a≠0)且af(x)＋b＝9x＋8，則(　　)

A．f(x)＝3x＋2

B．f(x)＝－3x－4

C．f(x)＝3x－4

D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)＝ax＋b的圖象如圖所示，則f(3)＝________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省高三練習(xí)數(shù)學(xué) 題型：解答題

已知f (x)＝ax－ln(－x)，x∈(－e,0)，g(x)＝－，其中e是自然常數(shù)，a∈R．

（1）討論a＝－1時(shí), f (x)的單調(diào)性、極值；

（2）求證：在（1）的條件下，|f (x)|＞g(x)＋1/2；

（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使f (x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆度河南泌陽二高高三第一次月考數(shù)學(xué)試卷 題型：選擇題

已知f(x)＝ax-2，g(x)＝loga|x|（a＞0，且a≠0），若f(2011)·g(－2011)＜0，則y＝f(x)與y＝g(x)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖形是

 

 

A                 B               C                 D   

 

 

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