Question

設(shè)數(shù)列的前項和為(即)，且方程有一根為－1，＝1,2,3…….

(1)求；

(2)猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出嚴(yán)格的證明。

 

Answer 1

解：(1)當(dāng)n＝1時，x²－a₁x－a₁＝0有一根為S₁－1＝a₁－1，

于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，

解得a₁＝.    

當(dāng)n＝2時，x²－a₂x－a₂＝0有一根為S₂－1＝a₂－，于是²－a₂－a₂＝0，解得a₂＝.  

(2)由題設(shè)(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，

即S－2S_n＋1－a_nS_n＝0.

當(dāng)n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1，

代入上式得S_n－1S_n－2S_n＋1＝0.①

由(1)得S₁＝a₁＝，

S₂＝a₁＋a₂＝＋＝.

由①可得S₃＝.由此猜想S_n＝，n＝1,2,3….  

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論．

(ⅰ)n＝1時已知結(jié)論成立．

(ⅱ)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N^*)時結(jié)論成立，

即S_k＝，

當(dāng)n＝k＋1時，由①得S_k＋1＝，

即S_k＋1＝，故n＝k＋1時結(jié)論也成立．

綜上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S_n＝對所有正整數(shù)n都成立．