已知f（x）=數(shù)學(xué)公式是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 數(shù) f-1（x），判斷f-1（x）的奇偶性，并給予證明；
（3）若函數(shù)y=F（x）是以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，F(xiàn)（x）=f-1（x），求x∈（2，3）時(shí)F（x）的表達(dá)式．

解：（1）∵f（x）=是奇函數(shù)，由f（0）=，得a=-1；
（2）由y=f（x）=，
得，
∴．
而，
∴f-1（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)；
（3）因?yàn)楫?dāng)-1＜x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）=f-1（x）
∴當(dāng)2＜x＜3時(shí)，-3＜-x＜-2?-3+2＜2-x＜0?-1＜2-x＜0
∴，
又∵F（x）是以2為周期的奇函數(shù)，
∴F（2-x）=F（-x）=-F（x）
∴．
分析：（1）函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，由f（0）=0求解a的值；
（2）由函數(shù)解析式利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化求解x，把x和y互換后得到原函數(shù)的反函數(shù)，然后利用就行的定義證明奇偶性；
（3）由2＜x＜3兩邊同時(shí)乘以-1，再加2后求出2-x的范圍，代入F（x）=f-1（x），再利用周期函數(shù)的性質(zhì)得到x∈（2，3）時(shí)F（x）的表達(dá)式．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法，訓(xùn)練了指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，通過對(duì)定義域的變化求解函數(shù)解析式是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)． 當(dāng)a，b∈[-1，1]，且a+b≠0時(shí)，有
f(a)+f(b)a+b
＞0成立．
（Ⅰ）判斷函f（x）的單調(diào)性，并證明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m2-2bm+1對(duì)所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）（x∈R）的一段圖象如圖所示，f′（x）是函f（x）（數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且y=f（x+1）是奇函數(shù)，給出以下結(jié)論：
①f（1-x）+f（1+x）=0；
②f′（x）（x-1）≥0；
③f（x）（x-1）≥0；
④f（x）+f（-x）=0
其中一定正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2006•寶山區(qū)二模）已知f（x）=
10x+a10x+1
是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函 數(shù) f-1（x），判斷f-1（x）的奇偶性，并給予證明；
（3）若函數(shù)y=F（x）是以2為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，F(xiàn)（x）=f-1（x），求x∈（2，3）時(shí)F（x）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年陜西師大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)． 當(dāng)a，b∈[-1，1]，且a+b≠0時(shí)，有成立．
（Ⅰ）判斷函f（x）的單調(diào)性，并證明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m2-2bm+1對(duì)所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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