Question

如圖，橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，F(xiàn)為右焦點．過F作一直線交橢圓于A、B兩點．M（4，0）是x軸上一定點，連接MA、MB．
（1）證明：∠AMF=∠BMF
（2）求

1

AM

+

1

BM

的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）當(dāng)AB的斜率不存在時，AB的方程為x=1，∠AMF=∠BMF．當(dāng)AB的斜率k存在時，設(shè)AB的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理推導(dǎo)出k_AM+k_BM=0，即能證明∠AMF=∠BMF．
（2）設(shè)∠AMF=∠BMF=θ，（0≤θ＜

π

2

），

1

AM

+

1

BM

=

AM+BM

AM•BM

=

AM+BM

S△ABM 1 2 sin2θ

=

2

3

cosθ，由此得當(dāng)AB的斜率不存在時，

1

AM

+

1

BM

取最小值，由此能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：∵橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，F(xiàn)為右焦點，∴F（1，0），
當(dāng)AB的斜率不存在時，AB的方程為x=1，
此時A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），
∵M（4，0），∴∠AMF=∠BMF．
當(dāng)AB的斜率k存在時，設(shè)AB的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直線交橢圓于A、B兩點，∴△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
k_AM+k_BM=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

y1x2+x1y2-4(y1+y2)

(x1-4)(x2-4)

=

(kx1-k)x2+x1(kx2-k)-4(kx1-k+kx2-k)

(x1-4)(x2-4)

=

2kx1x2-5k(x1+x2)+8k

(x1-4)(x2-4)

=

2k• 4k2-12 3+4k2 -5k• 8k2 3+4k2 +8k

(x1-4)(x2-4)

=0，
∴∠AMF=∠BMF．
綜上所述：∠AMF=∠BMF．
（2）解：設(shè)∠AMF=∠BMF=θ，（0≤θ＜

π

2

），

1

AM

+

1

BM

=

AM+BM

AM•BM

=

AM+BM

S△ABM 1 2 sin2θ

=

tan2θ+1 •[|4-x1|+|4-x2|]

|MF|•(|y1|+|y2|) 2sinθcosθ

=2sinθ•

1

|MF|

•

1

tanθ

=

2

|MF|

cosθ
=

2

3

cosθ，
∴θ越大，

1

AM

+

1

BM

越小，
∴當(dāng)AB的斜率不存在時，AB的方程為x=1，
此時A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），

1

AM

+

1

BM

取最小值，
此時，tanθ=

3 2

3

=

1

2

，cosθ=

2 5

5

，
∴（

1

AM

+

1

BM

）_min=

2

3

×

2 5

5

=

4 5

15

．

點評：本題考查兩角大小相等的求法，考查代數(shù)和最小的求法，涉及到直線方程、橢圓性質(zhì)、韋達定理、三角函數(shù)等知識點的合理運用．