Question

對(duì)數(shù)列{a_n}，如果?k∈N^*及λ₁，λ₂，…，λ_k∈R，使a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+…+λ_ka_n成立，其中n∈N^*，則稱{a_n}為k階遞歸數(shù)列．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①若{a_n}是等比數(shù)列，則{a_n}為1階遞歸數(shù)列；
②若{a_n}是等差數(shù)列，則{a_n}為2階遞歸數(shù)列；
③若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為，則{a_n}為3階遞歸數(shù)列．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：利用等差數(shù)列、等比數(shù)列和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為的性質(zhì)，根據(jù)k階遞歸數(shù)列的定義，逐個(gè)進(jìn)行判斷，能夠求出結(jié)果．
解答：解：①∵{a_n}是等比數(shù)列，
∴a_n=，a_n+1=qa_n，
∴?k=1，λ=q，使a_n+k=qa_n+k-1成立，
∴{a_n}為1階遞歸數(shù)列，故①成立；
②∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∴?k=2，λ₁=2，λ₂=-1，使a_n+2=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2成立，
∴{a_n}為2階遞歸數(shù)列，故②成立；
③∵若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為，
∴?k=3，λ₁=3，λ₂=-3，λ₃=1，使a_n+3=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+λ₃a_n+k-3成立，
∴{a_n}為3階遞歸數(shù)列，故③成立．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意正確理解k階遞歸數(shù)列的定義．