分析:(1)對
an+2=(n≥1,n∈N
*)變形化簡得
=.將其迭代,利用a
1=1,a
2=2可以得到a
n+1與a
n之間的遞推關(guān)系式;
(2)由于數(shù)列遞增,所以對一切n≥1,有a
n≥1成立,從而
0<≤1.又當n≥2時,
=(an-1+)2=++2,所以有
-=+2,從而問題得證.
(3)當n≥2時,
=++2,
=+…++2(n-1).
=+…++2(2011-1)>4020>3969=632又當n≥3時,有a
n2>2n,從而
=+…++2(2011-1)=
4020++…+<4096,從而可解.
解答:解:(1)易知,對一切n≥1,a
n≠0,由a
n+2=
,得
=
.
依次利用上述關(guān)系式,可得
=
=
=…=
=
=1,
從而數(shù)列
是常數(shù)列.(4分)
(2)由(1)得a
n+1=a
n+
.
又a
1=1,∴可知數(shù)列{a
n}遞增,則對一切n≥1,有a
n≥1成立,從而0<a
n2≤1.(6分)
當n≥2時,a
n2=a
n-12+
+2,
于是a
n2-a
n-12=
+2,
∴2<a
n2-a
n-12≤3.(8分)
(3)當n≥2時,a
n2=a
n-12+
+2,
∴a=1,a
22=4,則當n≥3時,
a
n2>2n.
a
20112>4 022>3 969=63
2,(10分)
a
20112=
+…+
+2(2011-1)+1
=4 022+
<4 022+
×33
=4 022+
×33
<4 022+
(19+4+10)<4 039<4 096=64
2.(14分)
∴63<a
2011<64,即a
2011的整數(shù)部分為63.(16分)
點評:本題主要考查數(shù)列與不等式的綜合,技巧性強,難度大.