Question

正三棱臺ABC—A₁B₁C₁中，A₁B₁=2，AB=4，

（1）若三棱臺的高為3，A₁B₁=2，AB=4，求側棱長和側面與底面所成的角的正切值；

（2）若三棱臺的高為h，A₁B₁∶AB=1∶2，過B₁C₁且平行于相對側棱AA₁的截面把這個三棱臺分成兩部分，求這兩部分的體積比.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）如圖，設正三棱臺ABC—A1B1C1上下底面中心分別為O1、O，作O1E⊥B1C1，垂足為E，ED⊥BC，垂足為D，EF⊥OD于點F，C1G⊥CO于點G， 在Rt△CC1G中，C1G=3， CG=CO－C1O1=. ∴CC1=. 由作圖可知，側面與底面所成的角就是∠EDO. 在Rt△EDF中，EF=3，DF=DO－EO1=，∴tanEDF=. （2）設截面B1C1NM∥A1A，則B1M∥A1A∥C1M，幾何體A1B1C1—AMN為三棱柱，再設三棱臺的上下底面面積分別為S1、S2. ∵△A1B1C1∽△ABC，且A1B1∶AB=2∶4=1∶2，∴S1∶S2=1∶4，即S2=4S1. ∴V三棱臺=h（S1++S2）=hS1，V三棱柱=S1h. ∴另一部分多面體的體積V=V三棱臺－V三棱柱=hS1. ∴V三棱柱∶V=3∶4.