正三棱臺ABC—A1B1C1中,A1B1=2,AB=4,
(1)若三棱臺的高為3,A1B1=2,AB=4,求側棱長和側面與底面所成的角的正切值;
(2)若三棱臺的高為h,A1B1∶AB=1∶2,過B1C1且平行于相對側棱AA1的截面把這個三棱臺分成兩部分,求這兩部分的體積比.
解:(1)如圖,設正三棱臺ABC—A1B1C1上下底面中心分別為O1、O,作O1E⊥B1C1,垂足為E,ED⊥BC,垂足為D,EF⊥OD于點F,C1G⊥CO于點G,
在Rt△CC1G中,C1G=3, CG=CO-C1O1=. ∴CC1=. 由作圖可知,側面與底面所成的角就是∠EDO. 在Rt△EDF中,EF=3,DF=DO-EO1=,∴tanEDF=. (2)設截面B1C1NM∥A1A,則B1M∥A1A∥C1M,幾何體A1B1C1—AMN為三棱柱,再設三棱臺的上下底面面積分別為S1、S2.
∵△A1B1C1∽△ABC,且A1B1∶AB=2∶4=1∶2,∴S1∶S2=1∶4,即S2=4S1. ∴V三棱臺=h(S1++S2)=hS1,V三棱柱=S1h. ∴另一部分多面體的體積V=V三棱臺-V三棱柱=hS1. ∴V三棱柱∶V=3∶4.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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