Question

已知正四面體內(nèi)接于半徑為R的球，用一平面去截此正四面體和球，其截面如圖，則球心到截面的距離為（　�。�

• A．

  1

  3

  R
• B．

  1

  2

  R
• C．

  3

  3

  R
• D．

  3

  6

  R

Answer 1

分析：根據(jù)題意，題中的截面是經(jīng)過正四面體的一個(gè)面的平面截得的．設(shè)正四面體的棱長為a，根據(jù)正三角形的性質(zhì)和正三棱錐的定義及性質(zhì)，利用勾股定理建立關(guān)系式算出R=

6

4

a，從而得出球心到截面的距離為

1

3

R．

解答：解：∵正四面體內(nèi)接于半徑為R的球，截面是等邊三角形，
∴該截面是經(jīng)過正四面體的一個(gè)面的平面截球得到的截面．
設(shè)正四面體的棱長為a，則底面正△BCD的中線BE=

3

2

a，
∴球心在高線AH上，BH=

2

3

BE=

3

3

a，
可得高AH=

AB2-BH2

=

6

3

a，
∵Rt△BOH中，BO=R，OH=AH-AO=

6

3

a-R，
∴由BO²=BH²+OH²，得R²=（

3

3

a）²+（

6

3

a-R）²
解之得R=

6

4

a，可得OH=

6

3

a-R=

6

12

a．
∴OH=

1

3

R，得球心到截面的距離為

1

3

R．
故選：A

點(diǎn)評：本題給出球的截面形狀，求球心到截面的距離．著重考查了球內(nèi)接多面體、正三角形的性質(zhì)和正三棱錐的定義及性質(zhì)等知識，屬于中檔題．