Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的通項公式為，求數(shù)列{a_n}的前m項和S_m；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：，設(shè)，若（Ⅱ）中的S_m滿足對任意不小于2的正整數(shù)n，S_m＜T_n恒成立，試求m的最大值

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由函數(shù)表達式證明，只需要把函數(shù)表達式代入然后化解即可．
（Ⅱ）由1中證明的結(jié)果代入通項公式推得，然后根據(jù)前n項和與通項的關(guān)系求得數(shù)列{a_n}的前m項和S_m．
（Ⅲ）由數(shù)列b_n滿足的條件求得再用（Ⅱ）中的S_m滿足S_m＜T_n恒成立，直接代入求解．
解答：（Ⅰ）證明：∵，
∴，
∴．
故答案為．．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，
∴，
即．
∴，
，
又S_m=a₁+a₂++a_m-1+a_m①S_m=a_m-1+a_m-2++a₁+a_m②
①+②得，
∴答案為；
（Ⅲ）解：∵③
∴對任意n∈N^*，b_n＞0④
，
∴，
∴
∵b_n+1-b_n=b_n²＞0，∴b_n+1＞b_n．
∴數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列．∴T_n關(guān)于n遞增，
∴當n≥2，且n∈N^*時，T_n≥T₂．
∵，
∴．（14分）
由題意，即，
∴∴m的最大值為6．
故答案為6．
點評：此題主要考查數(shù)列求和和數(shù)列恒成立的問題，屬于綜合性題目難度較大，計算量要求較高，需要仔細分析．