Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，，∠BCA=90°，PB=BC，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且AF=2FP．
（I）求證：BE⊥平面PAC；
（II）求證：CM∥平面BBF．

Answer 1

證明：（1）∵PB⊥底面ABC，且AC?平面ABC
∴AC⊥PB．
由∠BCA=90°，得AC⊥BC
又∵PB∩BC=B
∴AC⊥平面PBC
∵BE?平面PBC
∴AC⊥BE
∵PB=BC，E為PC中點
∴BE⊥PC
又∵PC∩AC=C
∴BE⊥平面PAC
（2）取AF的中點G，連接CG、GM
∵FA=2FP
∴GF=AF=FP
又∵E為PC中點
∴EF∥CG
∵CG?平面BEF，EF?平面BEF
∴CG∥平面BEF
同理可證：GM∥平面BEF
又∵CG∩GM=G
∴平面CMG∥平面BEF
∵CM?平面CGM
∴CM∥平面BEF．
分析：（1）證CA⊥平面PBC，可得BE⊥AC，由E為PC中點，且PB=BC得BE⊥平面PAC；
（2）取AF中點N，連接CN，MN，證平面MNC∥平面BEF，即能證得CM∥平面BBF．
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)、直線與平面平行的證明方法，解題中要注意空間各種關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．