已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線(xiàn)l:x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線(xiàn)l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).

(Ⅰ)求拋物線(xiàn)C的方程;

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線(xiàn)l上的定點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)AB的方程;

(Ⅲ)當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上移動(dòng)時(shí),求|AF|·|BF|的最小值.

答案:
解析:

  (Ⅰ)依題意,設(shè)拋物線(xiàn)的方程為,由結(jié)合,

  解得

  所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為

  (Ⅱ)拋物線(xiàn)的方程為,即,求導(dǎo)得

  設(shè),(其中),則切線(xiàn)的斜率分別為,,

  所以切線(xiàn)的方程為,即,即

  同理可得切線(xiàn)的方程為

  因?yàn)榍芯€(xiàn)均過(guò)點(diǎn),所以,

  所以為方程的兩組解.

  所以直線(xiàn)的方程為

  (Ⅲ)由拋物線(xiàn)定義可知,,

  所以

  聯(lián)立方程,消去整理得

  由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得

  所以

  又點(diǎn)在直線(xiàn)上,所以,

  所以

  所以當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C′的對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸,拋物線(xiàn)C在x軸上的焦點(diǎn)恰好是橢圓C′的焦點(diǎn)
(Ⅰ)若拋物線(xiàn)C和橢圓C′都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,2),求拋物線(xiàn)C和橢圓C′的方程;
(Ⅱ)已知?jiǎng)又本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)p(3,0),交拋物線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn),直線(xiàn)l′:x=2被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值,求拋物線(xiàn)C的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,分別過(guò)A,B的拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)E的軌跡為D,直線(xiàn)AB與軌跡D交于點(diǎn)F,求|EF|的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•廣東)已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線(xiàn)l:x-y-2=0的距離為
3
2
2
,設(shè)P為直線(xiàn)l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).
(1)求拋物線(xiàn)C的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線(xiàn)l上的定點(diǎn)時(shí),求直線(xiàn)AB的方程;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上移動(dòng)時(shí),求|AF|•|BF|的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為(1,0),焦點(diǎn)在x軸上,若直線(xiàn)y=x+2交拋物線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,7),求拋物線(xiàn)C的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•東莞一模)已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn),若P(2,2)為AB的中點(diǎn),則拋物線(xiàn)C的方程為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn),若P(1,1)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),則拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2=2x
y2=2x

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案