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  • 18.符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[π]=3,[-1.08]=-2,定義函數(shù)f(x)=x-[x].給出下列五個(gè)命題:
    ①函數(shù)f(x)的定義域是R,值域?yàn)閇0,1];       
    ②方程fx=12有無數(shù)個(gè)解;
    ③函數(shù)f(x)是周期函數(shù);                      
    ④函數(shù)f(x)是增函數(shù).
    ⑤函數(shù)Fx=fx+12x1有3個(gè)零點(diǎn)
    其中正確命題的序號(hào)有②③⑤.

    分析 可求出函數(shù){x}的取值范圍,即值域,可判斷①不對(duì);
    令{x}=x-[x]=12,可求出對(duì)應(yīng)的x的值,且對(duì)應(yīng)的有無數(shù)多個(gè),故②正確;
    根據(jù)周期函數(shù)的定義,可驗(yàn)證函數(shù){x}是周期為1的函數(shù),從而可判③正確;
    根據(jù)函數(shù){x}的性質(zhì)和單調(diào)性可知{x}在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù),但在整個(gè)定義域上不是增函數(shù),故④不正確

    解答 解:函數(shù){x}的定義域是R,但是0≤x-[x]<1,故函數(shù){x}的值域?yàn)閇0,1),故①不對(duì);
    ∵{x}=x-[x]=12,∴x=[x]+12,∴x=1.5,2.5,3.5,…,應(yīng)為無數(shù)多個(gè),故②正確;
    ∵{x+1}=x+1-[x+1]=x-{x}={x},故函數(shù){x}是周期為1的周期函數(shù),故③正確;
    函數(shù){x}在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù),但在整個(gè)定義域上不是增函數(shù),故④不正確;
    函數(shù)Fx=fx+12x1有3個(gè)零點(diǎn),即f(x)=-12x2+1有3個(gè)零點(diǎn),
    函數(shù)函數(shù)f(x)和y=-12x2+1的圖象,如圖示:
    ,
    故⑤正確;
    故答案為:②③⑤.

    點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)--定義域、值域、單調(diào)性、周期性.考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和靈活運(yùn)用.

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