Question

（2013•松江區(qū)二模）已知數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{

Sn

n

}是首項(xiàng)為0，公差為

1

2

的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

4

15

•(-2)an(n∈N*)，對(duì)任意的正整數(shù)k，將集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三個(gè)元素排成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為d_k，求證：數(shù)列{d_k}為等比數(shù)列；
（3）對(duì)（2）題中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用（1）得出b_n，從而得出b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成遞增的等差數(shù)列，求出d_k=b_2k+1-b_2k-1，利用等比數(shù)列的定義即可判斷出結(jié)論；
（3）對(duì)k分奇數(shù)、偶數(shù)討論，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，即可得出集合元素的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）由條件得

Sn

n

=0+(n-1)

1

2

，即Sn=

n

2

(n-1)，
∴an=n-1(n∈N*)．
（2）由（1）可知bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)
∴b2k-1=

4

15

(-2)2k-2=

4

15

•22k-2，b2k=

4

15

(-2)2k-1=-

4

15

•22k-1，b2k+1=

4

15

(-2)2k=

4

15

•22k，
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成遞增的等差數(shù)列，
所以dk=b2k+1-b2k-1=

4

15

•22k-

4

15

•22k-2=

4k

5

，
滿足

dk+1

dk

=4為常數(shù)，所以數(shù)列{d_k}為等比數(shù)列．
（3）①當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，

dk= 4k 5 = (5-1)k 5 = 5k- C 1 k 5k-1+ C 2 k 5k-2-…+(-1)k 5 =5k-1- C 1 k 5k-2+ C 2 k 5k-3-…+ C k-1 k 50(-1)k-1- 1 5

同樣，可得dk+1=

4k+1

5

=

(5-1)k+1

5

=5k-

C

1 k+1

5k-1+

C

2 k+1

5k-2-…+

C

k k+1

50(-1)k+

1

5

，
所以，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)為(dk+1-

1

5

)-(dk+

1

5

)+1=dk+1-dk+

3

5

=

3(4k+1)

5

；
②當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，同理可得集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個(gè)數(shù)為

3•(4k-1)

5

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義、二項(xiàng)式定理、分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．