Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長(zhǎng)均為1，則點(diǎn)B₁到平面ABC₁的距離為

 

．

Answer 1

分析：在立體幾何中，求點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常見(jiàn)的題型，同時(shí)求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離．本題采用的是“找垂面法”：即找（作）出一個(gè)過(guò)該點(diǎn)的平面與已知平面垂直，然后過(guò)該點(diǎn)作其交線的垂線，則得點(diǎn)到平面的垂線段．觀察點(diǎn)的位置可知：點(diǎn)B₁到平面ABC₁的距離就等于點(diǎn)C到平面ABC₁的距離，取AB得中點(diǎn)M，連接CM，C₁M，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥C₁M，垂足為D，則平面ABC₁⊥平面C₁CM，所以CD⊥平面C₁AB，故CD的長(zhǎng)度即為點(diǎn)C到平面ABC₁的距離，在Rt△C₁CM中，利用等面積法即可求出CD的長(zhǎng)度．

解答：解：如圖所示，取AB得中點(diǎn)M，連接CM，C₁M，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥C₁M，垂足為D
∵C₁A=C₁B，M為AB中點(diǎn)，
∴C₁M⊥AB
∵CA=CB，M為AB中點(diǎn)，
∴CM⊥AB
又∵C₁M∩CM=M，
∴AB⊥平面C₁CM
又∵AB?平面ABC₁，
∴平面ABC₁⊥平面C₁CM，平面ABC₁∩平面C₁CM=C₁M，CD⊥C₁M，
∴CD⊥平面C₁AB，
∴CD的長(zhǎng)度即為點(diǎn)C到平面ABC₁的距離，即點(diǎn)B₁到平面ABC₁的距離
在Rt△C₁CM中，C₁C=1，CM=

3

2

，C₁M=

7

2

∴CD=

21

7

，即點(diǎn)B₁到平面ABC₁的距離為

21

7

故答案為：

21

7

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱柱，線面關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．