Question

【題目】已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，且橢圓上一點(diǎn)到其兩焦點(diǎn)，的距離之和為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線：（）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，且，若點(diǎn)滿足，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值為或．

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的定義求出,,再求出的值,得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立直線,橢圓方程,由韋達(dá)定理求出兩根之和,兩根之積,由弦長公式求出的值,再由中垂線性質(zhì),中點(diǎn)坐標(biāo)求出的值．

試題解析：（1）由已知，得，又，

∴，

∴橢圓的方程為．

（2）由得 ①

∵直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、，

∴，得，

設(shè)，，

∴．

又由，得，解得．

據(jù)題意知，點(diǎn)為線段的中垂心與直線的交點(diǎn)，

設(shè)的中點(diǎn)為，則，，

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，線段的中垂線方程為，即．

令，得．

當(dāng)時(shí)，，

∴此時(shí)，線段中垂線方程為，即．

令，得．

綜上所述，的值為或．